Для решения этой задачи воспользуемся законами сохранения энергии.

Полный момент инерции полого обруча относительно его диаметра равен I = mR^2, где m - масса обруча, R - радиус обруча.

Из закона сохранения энергии можно записать:

mgh_1 + mv_1^2 / 2 = mgh_2 + mv_2^2 / 2,

где h1 и h2 - высоты нижней и верхней точки обруча, v1 и v2 - скорости обруча в этих точках.

С начальной скоростью в 3,14 м/с полый обруч начинает скатываться вверх по наклонной плоскости под углом 30 градусов. Перейдем к системе отсчета, в которой ось x направлена вдоль наклонной плоскости, а ось y - перпендикулярно ей вверх. Так как начальная скорость параллельна плоскости, то начальная скорость по оси y равна 0. Тогда

v1x = v1 cos(30),
v1y = v1 sin(30).

Также в начальный момент времени можно записать, что полный момент импульса обруча равен 0:

mv1 R = m v1 R = I ω,

I = mR^2,

v1 = R * ω.

Из условия задачи, стартовая скорость v1 = 3.14 м/с.

h1 = 0, R = R.

v1^2 = v1x^2 + v1y^2 = (3.14 cos(30))^2 + (3.14 sin(30))^2 = 3.14^2.

Отсюда можно записать:

m g h_2 = m g R sin(30) = m R^2 * ω^2 / 2.

Так как m и R> 0, то уравнения можно сократить на mR, после избавляемся от ω через v1.

v1 = R ω,
3.14 = R ω,

ω = 3.14 / R.

Теперь подставляем это в уравнение:

g h2 = R (3.14 / R)^2 / 2 * R^2.

h2 = (3.14 / R)^2 / 2 * R.

h2 = 3.14^2 / 2R.

Теперь можем найти длину пути, который пройдет обруч:

l = R (1 - cos(30)) = R - R cos(30) = R(1 - cos(30)).

Ответ: длина пути, которую пройдет обруч, равна R(1 - cos(30)).