Для нахождения периода малых колебаний гайки около положения равновесия воспользуемся законом Гука для пружины: F = -kx, где x - отклонение гайки от положения равновесия.

Сила, действующая на гайку со стороны пружины, равна F = kx, а сила тяжести, действующая на гайку, равна F = mg.

Так как гайка скользит без трения, то сумма всех сил, действующих на гайку, равна нулю в положении равновесия: mg - kx = 0.

Отсюда следует, что x = mg/k.

Таким образом, уравнение движения гайки можно записать в виде m(d^2x/dt^2) = -kx, где d^2x/dt^2 - ускорение гайки.

Для малых колебаний можно использовать приближение sin(x) ≈ x, откуда имеем m(d^2x/dt^2) = -kx.

Это уравнение имеет вид уравнения гармонического осциллятора, решение которого имеет вид x(t) = A*cos(ωt), где A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний.

Подставляя это решение в уравнение движения, получаем A = mg/k и ω = sqrt(k/m).

Тогда период малых колебаний T = 2π/ω = 2π*sqrt(m/k).