Период колебаний пружинного маятника зависит от массы шарика и жесткости пружины, но не зависит от радиуса шарика.

Из условия задачи видим, что новый шарик имеет радиус, который в три раза меньше, а плотность — в четыре раза больше, чем у исходного шарика.

Плотность можно выразить как отношение массы к объему:
ρ = m/V
где m - масса, V - объем, ρ - плотность.

Также известно, что объем шара пропорционален его радиусу в кубе:
V = (4/3)πr^3

Подставим формулу для объема в формулу для плотности:
ρ = m/((4/3)πr^3)
m = ρ * (4/3)πr^3

Таким образом, новая масса шарика будет равна:
m' = 4ρ (4/3)π(r/3)^3
m' = 4ρ (4/3)π(r^3/27)

m' = (16/27)ρπr^3

Период колебаний пружинного маятника можно выразить через массу шарика и жесткость пружины:
T = 2π√(m/k)
где k - жесткость пружины, m - масса.

Так как изменяется только масса шарика, то отношение периодов будет:
T'/T = √(m'/m)
T'/T = √((16/27)ρπr^3 / ρπr^3)
T'/T = √(16/27)
T'/T = 4/3

Итак, период колебаний пружинного маятника изменится в 4/3 раза при замене шарика на другой шарик с радиусом в три раза меньше и плотностью в четыре раза больше.