Дано: MK = 16 см, угол M = 30°.

Найдем катет MN с помощью тригонометрических функций:
tg(30°) = MN/MK
tg(30°) = MN/16
0.5774 = MN/16
MN = 0.5774 * 16
MN ≈ 9.2384

Ответ: катет MN ≈ 9.2384 см.

Дано: боковая сторона равнобедренного треугольника AB = 13 см, медиана CM = 12 см.

Так как медиана треугольника делит его на три равные части, то угол при основании треугольника равен 90°. Также из свойства медиан равнобедренного треугольника следует, что угол между медианой и стороной равен 90°. Таким образом, у треугольника угол при вершине равен 90°, угол между боковой стороной и медианой также равен 90°, и угол при основании равен 90°. Следовательно, данный треугольник является прямоугольным.

Найдем другие стороны треугольника. Пусть каждый катет равен x. Из прямоугольности треугольника:

AB^2 = x^2 + x^2
169 = 2x^2
x^2 = 84.5
x ≈ 9.20

Теперь найдем площадь треугольника через формулу: S = (1/2)ABCM.
S = (1/2)1312
S = 78

Найдем периметр треугольника, учитывая, что сторона, не равная катетам, равна 13 см:
P = 13 + 2*9.20
P ≈ 31.40

Ответ: периметр треугольника ≈ 31.40 см, площадь треугольника S = 78.