Для нахождения площади боковой поверхности призмы нам нужно посчитать площадь всех боковых граней призмы.

Найдем сначала длину гипотенузы прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. По теореме Пифагора:
c = √(a^2 + b^2) = √(12^2 + 9^2) = √(144 + 81) = √225 = 15 см

Поскольку наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, представляет собой квадрат, сторона этого квадрата равна стороне основания призмы (катету треугольника) - 9 см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности. У призмы 4 боковые грани, из которых две являются прямоугольными треугольниками высотой 9 см и катетами 9 см и 12 см, а две другие - прямоугольниками со сторонами 9 и 15 см.
Площадь двух прямоугольных треугольников:
2 (1/2 9 12) = 2 54 = 108 см^2

Площадь двух прямоугольников:
2 (9 15) = 270 см^2

Итак, общая площадь боковой поверхности призмы:
108 + 270 = 378 см^2

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 378 квадратным сантиметрам.