Для доказательства того, что треугольник со сторонами 1 см, 2√2 см и 3 см является прямоугольным, нужно использовать теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой справедливо:
a^2 + b^2 = c^2,

где c - длина гипотенузы.

В данном случае у нас есть треугольник со сторонами 1 см, 2√2 см и 3 см:
1^2 + (2√2)^2 = 3^2,
1 + 8*2 = 9,
1 + 16 = 9,
17 = 9.

Так как 17 ≠ 9, то треугольник не является прямоугольным.

Для нахождения длины медианы проведенной к гипотенузе можно воспользоваться формулой:
m = 0.5 * √(2a^2 + 2b^2 - c^2),

где m - длина медианы, a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.

Подставим известные значения:
m = 0.5 √(21^2 + 2(2√2)^2 - 3^2),
m = 0.5 √(2 + 82 - 9),
m = 0.5 √(2 + 16 - 9),
m = 0.5 √(9),
m = 0.5 3,
m = 1.5 см.

Таким образом, длина медианы, проведенной к гипотенузе треугольника, равна 1.5 см.