Доказательство:

Пусть высоты, проведенные из вершин A и C треугольника ABC, пересекаются в точке H. По условию, AH=CH.

Рассмотрим треугольники ACH и BCH.

Так как AH=CH, у этих треугольников совпадают гипотенузы AC и BC, и к ним проведены равнобедренные треугольники с основаниями AH и CH, соответственно.

Значит, у треугольников ACH и BCH равны гипотенузы и катеты, следовательно, эти треугольники равны. Тогда углы ACH и BCH равны между собой.

Так как углы ACB и BCA являются вершинами этих углов, то они также равны. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный (два угла при основании равны).

Таким образом, если AH=CH, то треугольник ABC равнобедренный.