Свойство: Четырёхугольник, все стороны которого касаются окружности, является вписанным.

Доказательство:

Пусть дан четырёхугольник ABCD, все стороны которого касаются окружности с центром в точке O. Точки касания окружности с сторонами четырёхугольника обозначим как E, F, G, H соответственно.

Так как сторона AB касается окружности в точке E, то угол AOE равен 90 градусов (касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания). Аналогично, угол BOF, угол COG и угол DOH также будут равны 90 градусов.

Таким образом, вписанный угол в каждом треугольнике AOE, BOF, COG, DOH равен 90 градусам, что говорит о том, что четырёхугольник ABCD является вписанным.

Чертёж:

A ───────E─────── B
/ \
/ \
/ \
/ \
D ───────H─────── C

Таким образом, доказано, что четырёхугольник, все стороны которого касаются окружности, является вписанным.