Кратко: композиция гомотетии, поворота и отражения — это общая (необязательно сохраняющая ориентацию) подобие плоскости с масштабным множителем $k\ne 0$. Ниже — инварианты, как меняются характеристики фигур и простой алгоритм распознавания по трём нетривиальным точкам.
Что сохраняется (инварианты)
- Коллинеарность и параллельность: образы прямых — прямые, образы параллельных — параллельны.
- Отношения отрезков на одной прямой (а значит делящие точки и барицентрические координаты) сохраняются.
- Углы по величине сохраняются; ориентированные углы меняют знак при ориентационно-не сохраняющей подобии.
- Отношения длин сохраняются: для любых двух отрезков $AB$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }$ имеем $\frac{|A^{\prime }{B}^{\prime }|}{|AB|}=|k|$.
- Круги переходят в круги (включая вырождение); прямые — в прямые.
- Отношения площадей: площадь множится на $|k{|}^2$; ориентированная площадь меняет знак, если преобразование меняет ориентацию. То есть ${\text{Area}}^{\prime }=k^2\cdot \text{Area}$ по модулю, и знак умножается на $\det (O)$ (±1) ортогональной части.
Как изменяются характеристики
- Длины умножаются на $|k|$: $|A^{\prime }{B}^{\prime }|=|k|\cdot |AB|$.
- Площади умножаются на $k^2$: $S^{\prime }=k^{2}S$ (по модулю).
- Углы сохраняют абсолютную величину: $|\angle A^{\prime }|=|\angle A|$; ориентированные углы меняют знак при отражении.
- Ориентация (порядок обхода) меняется при наличии отражения (детерминант линейной части отрицателен).
Распознавание по трём нетривиальным (неколлинеарным) точкам
Пусть исходные точки — $a,b,c$ (в комплексном виде или как векторы), их образы — $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$.
1) Проверка подобия и масштабного фактора:
- Вычислите масштаб по отрезкам, например
$k_1=\frac{|a^{\prime }-b^{\prime }|}{|a-b|},k_2=\frac{|a^{\prime }-c^{\prime }|}{|a-c|},k_3=\frac{|b^{\prime }-c^{\prime }|}{|b-c|}.$ Если преобразование — подобие, то $k_1=k_2=k_3=:|k|$.
2) Проверка ориентации:
- Сравните знаки ориентированных площадей (векторов):
$\mathrm{sign}((b-a)\times (c-a))$ и $\mathrm{sign}((b^{\prime }-a^{\prime })\times (c^{\prime }-a^{\prime })).$ Если знаки разные — преобразование ориентационно-не сохраняющее (есть отражение).
3) Явная конструкция параметров (удобно с комплексной записью). Ориентационно-не сохраняющая подобия имеет вид
$f(z)=\alpha \overline{z}+\beta ,$ где $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$, $|\alpha |=|k|$. Найдём $\alpha ,\beta$:
$\alpha =\frac{a^{\prime }-b^{\prime }}{\overline{a}-\overline{b}},\beta =a^{\prime }-\alpha \overline{a}.$ Проверка третьей точки: $\alpha \overline{c}+\beta \stackrel{?}{=}{c}^{\prime }$. Если равенство выполняется (с учётом вычислительной точности), преобразование совпадает с найденным.
4) Центр подобия (фиксированная точка) для $|\alpha |\ne 1$:
Решая $o=\alpha \overline{o}+\beta$, получаем
$o=\frac{\beta +\alpha \overline{\beta }}{1-|\alpha {|}^2}.$ Это единственный фиксированный центр (для $|k|\ne 1$). Угловая часть и отражение: аргумент $\arg (\alpha )$ даёт поворот; факт использования $\overline{z}$ указывает на отражение (смену ориентации).
Краткая сводка-проверка по трём точкам
- Сравните отношения длин трёх пар — должны совпадать (даёт $|k|$).
- Проверьте знак ориентированной площади — противоположность ⇒ отражение.
- Вычислите $\alpha ,\beta$ по двум точкам и проверьте третью; затем вычислите центр $o$ по формуле выше и по необходимости извлеките угол $\arg (\alpha )$.
Этого достаточно, чтобы распознать преобразование, вычислить масштаб $k=|\alpha |$, тип (ориентационно-не сохраняющее если используется сопряжение), центр и угол поворота.