Геометрическая модель
- Площадь — круг радиуса $R$: $D=\{x\in {\mathbb{R}}^2:\Vert x\Vert \le R\}$.
- Есть $n$ фонарей в точках $p_i\in D$ на высоте $h$ над площадью с мощностями $P_i\ge 0$ и суммарной мощностью заданной: ${\sum }_{i=1}^n{P}_i=P_{\mathrm{tot}}$.
- Модель освещённости от одного фонаря обычно аппроксимируется убывающим с расстоянием ядром (например, обратный квадрат, учёт направленности):
$$E_i(x)=\frac{P_i{f}_i({\theta }_{i,x})}{\Vert x-p_i{\Vert }^2+h^2},$$ где $f_i(\theta )$ — диаграмма направленности (для простоты можно принять $f_i\equiv 1$ или ламбертовскую $f(\theta )={\cos }^{\alpha }\theta$).
- Суммарная освещённость в точке $x$:
$$E(x)=\sum _{i=1}^n{E}_i(x).$$
Варианты оптимизационных критериев (в терминах $E(x)$)
- Минмакс (минимизировать наибольшую освещённость — уменьшить «пики»):
$$\underset{p_i,P_i}{\min }\underset{x\in D}{\max }E(x)\text{s.t.}\sum _i{P}_i=P_{\mathrm{tot}},P_i\ge 0,p_i\in D.$$ - Равномерность (минимизировать разброс, добиться равномерного покрытия):
$$\underset{p_i,P_i}{\min }{\int }_D(E(x)-\bar{E}{)}^{2}dx,\bar{E}=\frac{1}{|D|}{\int }_{D}E(x)dx.$$ - Максимизация минимального освещения (обеспечить наилучший worst‑case):
$$\underset{p_i,P_i}{\max }\underset{x\in D}{\min }E(x)\text{s.t.}\sum _i{P}_i=P_{\mathrm{tot}}.$$ - Комбинированные цели: минимакс с ограничением на среднюю или минимальную величину; добавление регуляризаторов на градиент $\Vert \nabla E{\Vert }_{L^2}$ для плавности.
Свойства и упрощения
- При фиксированных позициях $p_i$ зависимость $E(x)$ линейна по $P_i$: $E(x)={\sum }_i{a}_{x,i}{P}_i$ где $a_{x,i}=f_i({\theta }_{i,x})/(\Vert x-p_i{\Vert }^2+h^2)$. Тогда задача минимизации ${\max }_{x}E(x)$ по мощностям сводится к линейной (LP) задаче после дискретизации множества точек $x$.
- Перемещение $p_i$ делает задачу нелинейной и, как правило, невыпуклой.
Геометрические методы приближённого решения
1. Дискретизация + LP для распределения мощности
- Задайте сетку точек $\{x_k\}\subset D$. Для фиксированных $p_i$ решите
$$\underset{P_i,t}{\min }t\text{s.t.}\sum _i{a}_{k,i}{P}_i\le t\forall k,\sum _i{P}_i=P_{\mathrm{tot}},P_i\ge 0.$$ - Это быстро и даёт оптимальное распределение мощности для данных позиций.
2. Центроидальная диаграмма Вороного (CVT, Lloyd)
- Инициализируйте $p_i$ (например, равномерно). Для заданных мощностей построьте Вороного-разбиение по весам, вычислите центроиды клеток относительно ядра влияния (вес $a_{x,i}$) и переместите $p_i$ в центроиды; повторяйте. Метод стремится к равномерному покрытию и уменьшает вариацию $E(x)$.
3. Коаксиальные кольца и симметрия
- Для круглой площади хорошая эвристика — расположение фонарей на концентрических кольцах с равномерным угловым шагом. Параметры: число колец, радиусы $r_j$, число ламп на кольце и их мощности. Оптимизация тогда по невеликому числу геометрических параметров (поиск по сетке или оптимизация на непрерывных параметрах).
4. Потенциальная аналогия и равномерное распределение мощности
- Для сглаженных ядер задача похожа на задачу равномерного распределения плотности; в пределе большого числа источников оптимум часто симметричен и даёт равномерную плотность мощности по площади. Это даёт начальное приближение: распределить суммарную мощность пропорционально площади Voronoi‑клеток.
5. Комбинация глобального и локального поиска
- Глобальная стадия: симметричные схемы (кольца) + грубая оптимизация (эволюционные алгоритмы, симулированный отжиг).
- Локальная стадия: для найденных позиций решать LP по мощностям на сетке, затем градиентный или численный поиск по позициям (переоценка на сетке).
Практические шаги для проекта
1. Выбрать модель $f(\theta )$ и $h$, задать $n$.
2. Получить стартовую геометрию (CVT или кольца).
3. Дискретизовать $D$ (сетка точек $x_k$).
4. Для фиксированных $p_i$ решить LP по $P_i$ (минимакс) или квадратичную задачу (L2) в зависимости от критерия.
5. Оптимизировать позиции $p_i$ локально (градиент/сопряжённые методы или численный перебор по малым смещениям), после каждого шага решать LP по мощностям.
6. Оценить объективы: ${\max }_{x_k}E(x_k)$, $\mathrm{Var}(E(x_k))$, ${\min }_{x_k}E(x_k)$ и при необходимости корректировать $n$, высоту $h$ или характеристики светильников.
Краткие рекомендации
- Если цель — минимизировать пики освещённости: сначала оптимизируйте мощности через LP, затем корректируйте позиции; симметричные схемы (кольца) часто близки к оптимальным.
- Если цель — максимальная равномерность: используйте CVT/Lloyd + L2‑оптимизацию.
- Обязательно проверять решение на плотной сетке и моделировать реальную диаграмму направленности $f(\theta )$.
Если нужно, могу дать конкретный алгоритм (псевдокод) для реализации (LP+CVT+локальная оптимизация) или пример расчёта для заданных чисел $R,n,h,P_{\mathrm{tot}}$.