Формулировка и доказательства (векторный подход, ${\mathbb{R}}^2$). Пусть выпуклый (вообще — любой) многоугольник заданы вершинами $A_1,\dots ,A_n$ по порядку. Обозначим вектора от некоторой фиксированной точки $O$ к вершинам ${\mathbf{r}}_i=O{A}_i$. Центроид (средняя точка вершин) $G$ задаётся $\mathbf{g}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\mathbf{r}}_i$ и положим ${\mathbf{s}}_i=G{A}_i={\mathbf{r}}_i-\mathbf{g}$ (по построению $\sum {\mathbf{s}}_i=0$).
1) Обобщение через суммы квадратов всех диагоналей (пар попарных расстояний).
Теорема. Выполнено тождество
$$\sum _{1\le i<j\le n}|A_i{A}_j{|}^2=n\sum _{i=1}^n|A_{i}G{|}^2.$$ Доказательство. Положим ${\mathbf{s}}_i$ как выше. Тогда
$$\sum _{1\le i<j\le n}|A_i{A}_j{|}^2=\frac{1}{2}\sum _{i\ne j}|{\mathbf{s}}_i-{\mathbf{s}}_j{|}^2=\frac{1}{2}\sum _{i\ne j}(|{\mathbf{s}}_i{|}^2+|{\mathbf{s}}_j{|}^2-2{\mathbf{s}}_i\cdot {\mathbf{s}}_j).$$ Выписывая сумму, получаем
$$\sum _{i\ne j}|{\mathbf{s}}_i{|}^2=(n-1)\cdot 2\sum _i|{\mathbf{s}}_i{|}^2,\sum _{i\ne j}{\mathbf{s}}_i\cdot {\mathbf{s}}_j={\left(\sum _i{\mathbf{s}}_i\right)}^2-\sum _i|{\mathbf{s}}_i{|}^2=-\sum _i|{\mathbf{s}}_i{|}^2,$$ потому что $\sum {\mathbf{s}}_i=0$. Подставляя,
$$\sum _{1\le i<j\le n}|A_i{A}_j{|}^2=\frac{1}{2}(2(n-1)\sum _i|{\mathbf{s}}_i{|}^2+2\sum _i|{\mathbf{s}}_i{|}^2)=n\sum _{i=1}^n|{\mathbf{s}}_i{|}^2,$$ что и требовалось.
Следствие (применение к моментам инерции). Пусть в вершинах находятся одинаковые точки массы $m$. Момент инерции относительно центра масс $G$ равен
$$I_G=\sum _{i=1}^{n}m|A_{i}G{|}^2=\frac{m}{n}\sum _{1\le i<j\le n}|A_i{A}_j{|}^2.$$ Это удобная формула: момент инерции равен среднему (по парам) квадратичному расстоянию, умноженному на общее число масс.
2) Обобщение через проекции сторон на фиксированное направление (Pythagoras векторного типа).
Пусть стороны заданы векторами ${\mathbf{e}}_i=A_i{A}_{i+1}={\mathbf{r}}_{i+1}-{\mathbf{r}}_i$ (индексы по модулю $n$). Для любого ортонормированного базиса $(\mathbf{u},\mathbf{v})$ (то есть $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$, $|\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|=1$) имеем покомпонентное тождество (для каждого вектора — теорема Пифагора):
$$\sum _{i=1}^n|{\mathbf{e}}_i{|}^2=\sum _{i=1}^n({\mathbf{e}}_i\cdot \mathbf{u}{)}^2+\sum _{i=1}^n({\mathbf{e}}_i\cdot \mathbf{v}{)}^2.$$ Это — простая, но важная обобщённая форма Пифагора для произвольной замкнутой ломаной: сумма квадратов длин сторон равна сумме квадратов их проекций на две ортогональные оси.
Если взять одну ось вдоль фиксированного направления $\mathbf{u}$, тогда $({\mathbf{e}}_i\cdot \mathbf{u})=x_{i+1}-x_i$, где $x_i={\mathbf{r}}_i\cdot \mathbf{u}$ — координата вершин по этой оси. Получаем тождество
$$\sum _{i=1}^n({\mathbf{e}}_i\cdot \mathbf{u}{)}^2=\sum _{i=1}^n(x_{i+1}-x_i{)}^2=2\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2\sum _{i=1}^n{x}_i{x}_{i+1}.$$ Аналогично для ортогональной оси; суммируя две оси, можно выразить $\sum |{\mathbf{e}}_i{|}^2$ через координаты вершин. При выборе $O=G$ (координаты относительно центроида: $\sum x_i=\sum y_i=0$) формула упрощается и даёт связь между суммой квадратов сторон и распределением вершин вокруг $G$.
Случаи равенства/выделение частных ситуаций.
- Тождество в пункте 1 — алгебраическая тождественность, равенство всегда справедливо (не условие).
- Векторное Pythagoras (пункт 2) даёт для одной проекции неравенство
$$\sum _{i=1}^n({\mathbf{e}}_i\cdot \mathbf{u}{)}^2\le \sum _{i=1}^n|{\mathbf{e}}_i{|}^2,$$ с равенством тогда и только тогда, когда все ${\mathbf{e}}_i$ параллельны $\mathbf{u}$ (в случае невырожденного выпуклого многоугольника это невозможно, так что строгое неравенство).
Примеры применения (кратко).
- Регулярный $n$-угольник радиуса $R$ (вершины на окружности): тогда $|A_{i}G|=R$, следовательно
$$\sum _{i<j}|A_i{A}_j{|}^2=n\sum _i|A_{i}G{|}^2=n\cdot n{R}^2=n^2{R}^2.$$ Для масс $m$ в вершинах $I_G=\sum m{R}^2=mn{R}^2$, что согласуется с общей формулой $I_G=\frac{m}{n}{\sum }_{i<j}|A_i{A}_j{|}^2$.
- Треугольник ($n=3$). Тождество 1 даёт
$$a^2+b^2+c^2=3(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2).$$ Если треугольник прямоугольный ($c$ — гипотенуза), классическое равенство $a^2+b^2=c^2$ можно также получить как частный вывод через проекции: проецируя на стороны катетов, проекции гипотенузы даёт сумму квадратов проекций катетов и т.д.; векторная версия Pythagoras даёт более общий контекст (каждая сторона разлагается на ортогональные компоненты).
- Задачи на расчёт моментов инерции: для системы одинаковых точек в вершинах многоугольника формула из пункта 1 даёт быстрый переход между суммой попарных расстояний и моментом инерции: для любых масс $m_i$ можно записать (в векторной форме)
$$I_G=\sum _i{m}_i|A_{i}G{|}^2=\frac{1}{2}\frac{1}{M}\sum _{i,j}{m}_i{m}_j|A_i{A}_j{|}^2,$$ где $M=\sum m_i$. В частности, для равных масс это даёт выражение через сумму квадратов диагоналей, удобное при симметриях.
Краткое резюме: две удобные и общие формы обобщённой теоремы Пифагора для многоугольников — разложение по ортогональным проекциям сторон (векторный Pythagoras для сторон) и алгебраическое тождество для суммы квадратов всех попарных расстояний (связь с расстояниями до центроида). Обе формулы просты в доказывании векторной алгеброй и широко применимы при вычислении моментов инерции и в геометрических задачах со симметриями.