Коротко и строго. Обозначения: вершины шестиугольника по циклу $A_1,\dots ,A_6$, векторы сторон $a_i=A_i{A}_{i+1}$ (индексы по модулю $6$). Условие «противоположные стороны попарно параллельны» означает, что существуют положительные числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ такие, что
$$a_{i+3}=-{\lambda }_i{a}_i,i=1,2,3.$$ Так как замкнутость пути даёт ${\sum }_{i=1}^6{a}_i=0$, из этого следует базовое тождество
$$(1-{\lambda }_1)a_1+(1-{\lambda }_2)a_2+(1-{\lambda }_3)a_3=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$
1) Условие «сумма трёх несмежных сторон равна нулю». Рассмотрим, например,
$$a_1+a_3+a_5=0.\text{\hspace{1em}(S)}$$ Пользуясь $a_5=-{\lambda }_2{a}_2$, (S) эквивалентно
$${\lambda }_2{a}_2=a_1+a_3.\text{\hspace{1em}(2)}$$ Из (1) и (2) автоматически следует также $a_2+a_4+a_6=0$ (потому что сумма всех шести векторов равна нулю), т.е. условие действует симметрично на обе тройки альтернативных сторон.
2) Необходимые и достаточные алгебраические условия. Пусть векторы $a_1,a_2,a_3$ образуют линейную зависимость в плоскости (как всегда): существует ненулевой тройственный набор чисел, дающий (1). Тогда (S) эквивалентно системе
$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_2{a}_2=a_1+a_3,\\ (1-{\lambda }_1)a_1+(1-{\lambda }_2)a_2+(1-{\lambda }_3)a_3=0.\end{array}$$ Отсюда следуют два принципиальных варианта:
- Вариант I (центральная симметрия). Если ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=1$, то $a_{i+3}=-a_i$ и всякий такой шестиугольник центрально-симметричен (есть центр симметрии $O$ с $A_{i+3}=2O-A_i$). В этом случае (S) выполняется автоматически (две альтернативные тройки векторов суммируются в нуль). Диагонали $A_i{A}_{i+3}$ пересекаются в общей точке $O$ и пополам делятся.
- Вариант II (нецентрический). Если хотя бы одно ${\lambda }_i\ne 1$, то (S) задаёт соотношение вида «вектор одной стороны равен сумме двух других (с масштабированием)». Геометрически это значит: три несмежные стороны $a_1,a_3,a_5$ могут быть расположены голово-к хвосту и образуют замкнутый треугольник (их сумма нуль). В этом случае противоположные стороны уже не равны по вектору, центр симметрии для всего шестиугольника отсутствует в общем положении; вместо этого получают семью- (однопараметрические) семейства шестиугольников, которые можно строить так:
- взять любой треугольник векторов $u,v,w$ с $u+v+w=0$ (это будут $a_1,a_3,a_5$);
- положить $a_2$ произвольно в той же системе направлений (и тогда $a_4,a_6$ фиксируются через ${\lambda }_i$ и условие замкнутости);
- получится самопересекающийся или невыпуклый шестиугольник с требуемым свойством. Формально: любое решение системы (1),(2) даёт такой шестиугольник; обратное тоже верно.
3) Следствия для диагоналей и центров:
- В варианте I (центрально-симметричный) диагонали $A_i{A}_{i+3}$ пересекаются в общем центре симметрии и пополам делятся; треугольники альтернативных вершин $A_1{A}_3{A}_5$ и $A_2{A}_4{A}_6$ совпадают с точностью до параллельного переноса и противоположных направлений сторон.
- В варианте II общая точка пересечения диагоналей, вообще говоря, отсутствует: диагонали попарно не обязательно пересекаются в одной точке и не обязательно делятся пополам. Однако треугольник образованный векторами $a_1,a_3,a_5$ замкнут (они образуют стороны некоторого треугольника); треугольники $A_1{A}_3{A}_5$ и $A_2{A}_4{A}_6$ связаны линейными соотношениями (см. (2)) и обычно аффинно подобны соответственно «двум наборам сумм векторов».
4) Классификация (кратко):
- Класс 1: центрально-симметричные шестиугольники ($a_{i+3}=-a_i$). Эти и только эти имеют центр симметрии; для них $a_1+a_3+a_5=0$ и диагонали биссектируют друг друга.
- Класс 2: некцентральные решения системы (1),(2). Их можно параметризовать выбором трёх направлений попарно параллельных противоположных сторон и положительными длинными коэффициентами, удовлетворяющими (1) и (2). Геометрически — шестиугольники, у которых одна тройка несмежных сторон замыкает треугольник; они обычно невыпуклы или самопересекаются и не имеют единого центра симметрии.
- Граничные/вырожденные случаи: когда один из углов или коэффициентов даёт коллинеарность; тогда треугольник из трёх несмежных сторон вырождается и шестиугольник может распасться на соединение параллельных отрезков (частные случаи).
Короткая конструктивная формулировка: шестиугольник с попарно параллельными противоположными сторонами удовлетворяет $a_1+a_3+a_5=0$ тогда и только тогда, когда существуют положительные числа и направления, такие что
$$a_5=-{\lambda }_2{a}_2,{\lambda }_2{a}_2=a_1+a_3,$$ и вместе с общим условием замкнутости (1) дают искомый шестиугольник; частный подслучай ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=1$ — это и только это центрально-симметричный класс с диагоналями, пересекающимися в одном центре.
Если нужно, могу дать иллюстрацию (векторную конструкцию) и привести явную параметризацию некцентрального семейства.