Коротко — суть смены: Евклид опирался на интуитивные, иногда неявные допущения (суперпозиция, пересечение окружностей, свойства порядка), а Гильберт ввёл строгую систему аксиом ( incidence, betweenness, congruence, parallel, continuity). Это устранило логические пробелы, сделал доказательства модульными, но часть евклидовых «доказательств» превратилась либо в прямые аксиомы, либо потребовала дополнительных аксиом/инструментов.
Примеры (что упростилось / что потребовало новых средств):
1) SAS (признак равенства треугольников)
- Евклид: Proposition I.4 доказывал равенство треугольников с использованием идеи суперпозиции (наложения), что формально не аксиоматизировано и оставляет скрытые предпосылки.
- Гильберт: вводит аксиомы конгруэнции, которые делают утверждение SAS либо отдельной аксиомой конгруэнции (в эквивалентных изложениях) — т.е. вместо сомнительного «доказательства» получают строгую аксиому:
$\text{Если}\overline{AB}\cong \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overline{AC}\cong \overline{A^{\prime }{C}^{\prime }},\angle BAC\cong \angle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime },\text{то треугольники}ABC\cong A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.$ - Эффект: устранён логический пробел; многие дальнейшие доказательства, опиравшиеся на I.4, стали формально корректны и короче.
2) Пасх (положение пересечения прямой с сторонами треугольника)
- Евклид часто использует интуитивные утверждения вида «если прямая входит в одну сторону треугольника, она выйдет через другую», без формализации.
- Гильберт вводит аксиому Пасха (или аксиомы порядка), формулируемую, например, как: если прямая пересекает отрезок $AB$ треугольника $ABC$ в точке, не совпадающей с вершинами, то она пересекает ещё одну сторону треугольника.
Формально: если точка $P$ лежит между $A$ и $B$ и прямая $l$ содержит $P$ и не содержит ни одной вершины, то $l$ пересечёт либо $AC$, либо $BC$.
- Эффект: многие «геометрические рассуждения о пересечениях» стали строгими и короче; раньше нужные утверждения приходилось доказывать ad hoc или оставлять без доказательств.
3) Постулат о параллельных (пятая постулат)
- Евклид использовал пятую постулат в форме сложной цитаты; Гильберт заменил её (вместе с прочими аксиомами порядка/конгруэнции) на более чёткие формы, часто используют эквивалентную формулировку Плейфера:
$\text{Через точку}P\notin l\text{проходит не более одной прямой, не пересекающей}l.$ - Эффект: улучшилась ясность и сравнительная простота доказательств в евклидовой геометрии; кроме того, строгая аксиоматизация позволила показать независимость постулата (модели Лобачевского/Белтрами и т.д.).
4) Конструкции с окружностями (пересечение окружностей, постройка равностороннего треугольника)
- Евклид I.1 (построение равностороннего треугольника) использует фактическое допущение, что окружности с центрами в концах отрезка пересекаются. Это было принято интуитивно, но явно не вытекает из простых инцидентных/конгруэнтных аксиом.
- В системе Гильберта для гарантии пересечения окружностей нужно либо добавить аксиомы непрерывности/совместимости (группа V), либо принять соответствующее утверждение как отдельную аксиому. Без аксиом непрерывности некоторые существования (пересечение окружностей, некоторый предел точек) не вытекают.
- Эффект: некоторые элементарные построения перестали быть «самопонятными» и потребовали формального обоснования через аксиомы непрерывности.
5) Упорядочение и свойства отрезков/углов (архимедовость, непрерывность)
- Евклид использовал понятия расстоя и «бесконечное делимое» интуитивно. Гильберт ввёл аксиомы архимедовости и полноты; это необходимо для доказательств существования точек при предельных конструкциях и для перехода к координатным моделям.
- Эффект: доказательства, требующие предельных аргументов или сравнения длин (например, существование пересечений при заданных условиях, теоремы о равномерности разбиений), стали формально корректны, но потребовали новых аксиом.
6) Методологическое последствие — возможность алгебраизации и формальной проверки
- Чёткая аксиоматизация Гильберта (и последующая формализация Тарского) позволила переводить геометрию в алгебру (координные модели, вещественные поля). Многие классические геометрические теоремы (напр., о центрe тяжести, Euler‑прямая, девятиточечная окружность) получили гораздо короче аналитические доказательства через координаты или уравнения. Это не «упрощение» в смысле синтетики, но радикально сократило технические детали.
- Кроме того, строгая аксиоматизация сделала возможными результаты о независимости и разрешимости (напр., непротиворечивость и независимость пятого постулата).
Краткое резюме:
- что упростилось: организация доказательств, устранение скрытых допущений (через явные аксиомы конгруэнции и порядка — SAS, Pasch и т.п.), возможность модульного построения теорий;
- что потребовало новых средств: существование пересечений (окружностей и т.п.) и предельные утверждения потребовали аксиом непрерывности/архимедовости или дополнительных конструктивных аксиом; некоторые «доказательства» Евклида оказались либо аксиоматически недоказуемыми, либо требовали усиления аксиоматической базы.
Если хотите, могу привести строго формализованные формулировки соответствующих аксиом Гильберта и показать, какие привычные евклидовы пропозиции становятся аксиомами или выводимыми теоремами в его системе.