Кратко: геометрическое место точек $X$ с постоянными отношениями расстояний до трёх заданных прямых $l_1,l_2,l_3$ (коэффициенты отношений заданы как положительные числа $a_1:a_2:a_3$) — в общем положении это алгебраическая пространственная кривая (пересечение двух квадрик). Далее — пояснения, классификация по частным случаям, условия гладкости и применения.
1) Алгебраическая формулировка.
- Пусть для $i$-й прямой задана точка $p_i$ и единичный направляющий вектор $u_i$. Расстояние в квадрате от $X$ (координата $x$) до $l_i$ можно записать как
$$D_i(x)=\Vert x-p_i{\Vert }^2-((x-p_i)\cdot u_i{)}^2.$$ - Условие постоянства отношений $d(X,l_i):d(X,l_j)=a_i:a_j$ эквивалентно (так как все расстояния неотрицательны) условию для квадратов:
$$\frac{D_i(x)}{D_j(x)}=\frac{a_i^2}{a_j^2}\text{для двух независимых пар.}$$ - Следовательно задаются две независимые квадратичные уравнения
$$a_j^2{D}_i(x)-a_i^2{D}_j(x)=0,a_k^2{D}_i(x)-a_i^2{D}_k(x)=0,$$ то есть искомое множество есть пересечение двух квадрик в ${\mathbb{R}}^3$.
2) Общая топология и гладкость.
- В общем положении (прямые не имеют специальной симметрии так, что две квадрики не вырождаются и не касаются) пересечение двух квадрик — одномерное множество: пространственная алгебраическая кривая. Эта кривая может иметь несколько компонент, каждая компонентa — либо замкнутая (несколько колец), либо неограниченная (лучи/ветви), в зависимости от конкретных коэффициентов и конфигурации прямых.
- Гладкость: точка $x$ на пересечении квадрик является регулярной (гладкой) точкой кривой, если градиенты двух квадрических функций в этой точке линейно независимы. Сингулярности возникают, когда градиенты коллинеарны (касание квадрик) или когда одна из квадрик вырождается; тогда возможны узлы, самопересечения или кратные компоненты.
- Компактность: пересечение двух квадрик может быть компактным (например, несколько изолированных петель) либо некомпактным; нет общего требование компактности.
3) Частные (важные) случаи и простые модели.
- Прямые, проходящие через одну точку (конкурентные). Пусть $l_i$ проходят через начало координат. Тогда $d(X,l_i)=\Vert x\Vert \sin {\theta }_i$, где ${\theta }_i$ — угол между вектором $x$ и направлением $u_i$. Отношения дают условия на направление $x/\Vert x\Vert$, не зависящие от масштаба; поэтому множество — конусы (лучи через начало) над некоторым криволинейным множеством на сфере. Частный пример: три оси $x,y,z$ — получаем набор конусов, задающих фиксированные отношения $\sqrt{y^2+z^2}:\sqrt{z^2+x^2}:\sqrt{x^2+y^2}$.
- Две (или все) прямые параллельны. Тогда для каждой такой прямой множество точек с фиксированным абсолютным расстоянием — цилиндр; пересечение цилиндров (с радиусами пропорциональными $a_i$) даёт часто замкнутые кривые (окружности/эллипсы) или систему прямых/дуг в зависимости от сдвигов.
- Общий случай (три скрещивающиеся прямые без общей точки): пересечение двух квадрик даёт обычно непростой пространственный кривой (примеры — эллиптические кривые степени ≤4 в проективной модели). Можно получить гладкую замкнутую пространственную кривую или набор неограниченных ветвей.
4) Примеры (быстро).
- Конусный пример: $l_1,l_2,l_3$ — три луча через начало; отношение $a_1:a_2:a_3$ фиксировано ⇒ множество = набор лучей/конус над пересечением двух квадрик на сфере.
- Цилиндрический пример: $l_1$ — ось $z$, $l_2$ и $l_3$ — параллельные ей прямые, смещённые в плоскости $xy$. Тогда на каждом высотном слое $z=\text{const}$ пересечение даёт пересечение окружностей в плоскости — либо 0, 1, 2 точек, так что в пространстве либо нет решения, либо несколько кривых (спираль не возникает, остаются прямые/замкнутые гибриды).
- Общий (алгебраический) пример: возьмите $l_1$ — ось $x$, $l_2$ — прямая через $(0,1,0)$ направлением $(1,1,0)$, $l_3$ — прямая в общем положении; подставив в формулы $D_i$ получите две квадрики и их пересечение — конкретная пространственная кривая (численный пример даёт замкнутую или неограниченную кривую в зависимости от параметров).
5) Приложения в задачах на минимальные пути и отражения.
- Взвешенные задачи минимума: пусть требуется найти точку $X$ минимизирующую функционал
$$F(X)=\sum _{i=1}^3{w}_{i}d(X,l_i),$$ где $w_i>0$ — веса. Условия стационарности дают векторное уравнение
$$\sum _{i=1}^3{w}_i\frac{P_i(X)-X}{d(X,l_i)}=0,$$ где $P_i(X)$ — ортогональная проекция $X$ на $l_i$. Это уравнение связывает направления к трем ближайшим точкам на прямых и по сути даёт соотношения между $d(X,l_i)$ и углами; уровни и решения этого уравнения лежат на рассмотренных кривых (в частности, в поиске стационарных точек часто приходится решать систему отношений расстояний).
- Задачи отражения и преломления: принцип Ферма/Знелла даёт соотношения между синусами углов и коэффициентами среды; в геометрических задачах, где отражение/преломление происходит относительно прямой или требуется соединить три прямые с минимальным временем/стоимостью (вес на каждом участке зависит от расстояния до соответствующей прямой), точки, удовлетворяющие фиксированным отношениям расстояний, часто являются геометрическим местом допустимых точек отражения/перехода. Конкретно, при постановке с двумя средами/двумя направлениями получаем соотношение $\sin {\theta }_1:\sin {\theta }_2=\text{const}$ — аналогично отношениям расстояний к осям при конкурирующих прямых.
- При построении минимальных сетей (вариант стержней/шин на трёх направляющих) решение часто сводится к нахождению точки, где силы (векторы) уравновешиваются — это даёт соотношения, эквивалентные фиксированным отношениям расстояний, и поэтому изучение описанных кривых полезно для анализа локальных экстремумов.
6) Резюме.
- В общем положении геометрическое место — пересечение двух квадрик в ${\mathbb{R}}^3$, т.е. пространственная алгебраическая кривая (как правило одномерная, с возможными несколькими компонентами).
- Частные симметричные случаи (конкурентные прямые, параллельные прямые и т.п.) дают более простые элементы: конусы, пересечения цилиндров (окружности, прямые и т. п.).
- Гладкость и топология зависят от невырожденности и некосоности квадрик; сингулярности возникают при касании квадрик или вырождении уравнений.
- Применения: задачи взвешенного минимума, геометрические задачи отражения/преломления и оптимального соединения трёх направляющих — в этих задачах условия оптимума/закон отражения приводят к отношениям расстояний, а значит к изучаемым множествам.
Если хотите, могу привести явный численный пример (координаты трёх прямых и числа $a_i$) и построить уравнения двух квадрик и показать тип получающейся кривой.