Обозначим треугольник $ABC$, медиану из вершины $A$ — $AM$ ($M$ — середина $BC$), даны $m=AM$, угол $\phi =\angle BAM$ (угол между медианой и стороной $AB$) и сумма $s=AB+AC$. Требуется построить $B,C$.
Ключевая идея. Отразим точку $A$ через $M$ в точку $P$ (т. e. $M$ — середина $AP$). Для любой точки $B$ на луче из $A$ под углом $\phi$ точка $C$, удовлетворяющая $M$ — середине $BC$, есть образ $B$ при центральной симметрии с центром $M$: $B^{\prime }\equiv C=2M-B$. Тогда условие $AB+AC=s$ переписывается как
$$AB+A{B}^{\prime }=s,$$ где $B^{\prime }=C$ лежит на луче, симметричном лучу $AB$ относительно центра $M$. В координатах (поставим $A$ в начало, направление $AM$ вдоль оси $x$, пусть единичный вектор луча $AB$ равен $u=(\cos \phi ,\sin \phi )$, обозначим $t=AB$) получаем
$$A{B}^{\prime }=|2AM-tu|=\sqrt{t^2-4mt\cos \phi +4m^2},$$ и уравнение
$$t+\sqrt{t^2-4mt\cos \phi +4m^2}=s.$$ Возведя в квадрат и сократив $t^2$, получаем линейное уравнение для $t$, дающее явную формулу
$$t=\frac{s^2-4m^2}{2(s-2m\cos \phi )}.$$
Условия разрешимости и единственности
- Необходимое и достаточное условие существования невырожденного решения: $s>2m$. (Если $s\le 2m$, то $s$ меньше либо равно расстоянию между фокусами $A$ и $P$ и точки с суммой расстояний $s$ не существует или треугольник вырожден.)
- При $s>2m$ знаменатель $2(s-2m\cos \phi )$ положителен (так как $s/(2m)>1\ge \cos \phi$), поэтому по формуле получается единственное положительное значение $t$. Значит точка $B$ единственна на данном луче, и, следовательно, треугольник $ABC$ однозначно восстанавливается (единственность до тривиальной симметрии: если при постановке задачи угол $\phi$ не ориентирован по сторонам $AB/AC$, возможны два зеркально-симметричных решения относительно прямой $AM$).
- Частные/вырожденные случаи: $s=2m$ даёт $t=0$ (вырождено); конфигурация с $\phi =0$ или $\phi =\pi$ соответствует вырожденным положениям стороны вдоль медианы.
Пошаговый алгоритм построения (циркуль + линейка)
1. Постройте отрезок $AM$ длины $m$.
2. Через $A$ проведите луч $l$, составляющий с $AM$ угол $\phi$ (на выбранной стороне медианы).
3. Постройте точку $P$ — образ $A$ при центральной симметрии с центром $M$ (на прямой $AM$, такая что $MP=AM=m$, причём $P$ лежит на продолжении $AM$ за $M$).
4. Вычислите (построительно, с помощью стандартных приёмов скалярных операций через подобие треугольников и пересечения окружностей) длину
$$t=\frac{s^2-4m^2}{2(s-2m\cos \phi )}.$$ (Замечание: все операции — возведение в квадрат, умножение, деление и умножение на $\cos \phi$ — конструктивно выполняются через подобие треугольников и проекции: $2m\cos \phi$ получают как проекцию отрезка длины $2m$ на направление $AM$ при повороте на угол $\phi$.)
5. Отложите на луче $l$ от $A$ отрезок $AB=t$; это даёт точку $B$.
6. Точка $C$ получается как центрированная симметрия $B$ относительно $M$: построите $C$ так, чтобы $M$ был серединой $BC$ (т. e. отложите через $M$ в сторону, противоположную $B$, равный отрезок $MB$).
Проверка и замечания
- При $s>2m$ полученное $t$ положительно и меньше $s$, значит $AB=t$ и $AC=s-t>0$ — корректная длина.
- Если при вычислении $t$ получается отрицательное или ноль, решения нет (вырождено).
- Если в задаче угол дан без указания стороны медианы (неориентирован), тогда есть два симметричных решения относительно прямой $AM$ (т.е. можно взять угол $\phi$ в двух симметричных направлениях), в остальных смыслах решение уникально.
Краткое обоснование: аналитическое сведение к уравнению по переменной $t=AB$ даёт единственную допустимую положительную корень при $s>2m$; все арифметические шаги конструктивно выполнимы циркулем и линейкой (сложение, вычитание, умножение/деление и извлечение квадратных корней реализуются через подобие треугольников и пересечение окружностей).