Для начала найдем длину стороны ромба, которая является основанием призмы.

У нас есть, что угол между диагоналями равен 60 градусов, следовательно, угол между сторонами ромба равен 30 градусов. Так как у нас ромб, то все стороны равны.

Таким образом, можем разбить ромб на два равносторонних треугольника. В таком треугольнике у нас есть вершина с углом 30 градусов, гипотенуза у треугольника соответствует стороне ромба и равна d/2 (d - диагональ ромба).

Тогда, применяя тригонометрический закон косинусов, можно найти значение стороны ромба:
cos(30) = a / (d/2)
a = d/2 cos(30)
a = d √3 / 2, так как cos(30) = √3 / 2

Далее, так как у нас ромб, площадь основания будет равна площади этого ромба:
S = a^2 √3 / 2
S = (d √3 / 2)^2 √3 / 2
S = 3 d^2 / 4

Для того чтобы найти длину диагонали d, нам может помочь теорема Пифагора. Рассмотрим только один из треугольников.

(d/2)^2 + (a/2)^2 = 12^2
d^2 / 4 + (d √3 / 4)^2 = 144
d^2 / 4 + 3d^2 / 16 = 144
16d^2 + 3d^2 = 576 16
19d^2 = 9216
d^2 = 9216 / 19
d ≈ 18

Теперь, найдем площадь основания призмы:
S = 3 18^2 / 4
S = 3 81
S = 243

Ответ: Площадь основания призмы равна 243 квадратные см.