Точка N — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ADN и BCN равна половине площади трапеции
Точка N — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ADN и BCN равна половине площади трапеции
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции ABCD за O.
Так как N — середина стороны CD, то DN = NC.
Также из теоремы о параллельности диагоналей трапеции известно, что треугольник ADN подобен треугольнику OCB, а треугольник BNC подобен треугольнику ODA.
Из подобия треугольников следует, что S(ADN)/S(OCB) = (AD/OC)^2 и S(BNC)/S(ODA) = (BN/OD)^2, где S(X) обозначает площадь фигуры X.
Так как OC = OD (диагонали трапеции равны), то (AD/OC)^2 = (BN/OD)^2.
Учитывая, что все площади прямоугольных треугольников выражаются через катеты по формуле S = 0.5ab, получим, что S(ADN) = S(OCB) и S(BNC) = S(ODA).
Таким образом, сумма площадей треугольников ADN и BCN равна половине площади трапеции ABCD.