Обозначим длины сторон трапеции следующим образом: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

Так как точка N — середина стороны CD, то NC = ND = c/2.

Рассмотрим треугольники ADN и BCN.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: S = 0.5 a h, где a — основание, h — высота.

Применим эту формулу к треугольнику ADN:

S_ADN = 0.5 d (c/2) = 0.25 d c.

Применим эту формулу к треугольнику BCN:

S_BCN = 0.5 b (c/2) = 0.25 b c.

Тогда сумма площадей треугольников ADN и BCN равна:

S_ADN + S_BCN = 0.25 d c + 0.25 b c = 0.25 (d + b) * c.

Теперь рассмотрим площадь трапеции ABCD:

S_trapezoid = 0.5 (a + c) h.

Так как точка N — середина стороны CD, то h = 0.5 * (a - b).

S_trapezoid = 0.5 (a + c) 0.5 (a - b) = 0.25 (a + c) * (a - b).

По условию задачи трапеция ABCD, следовательно:

S_ADN + S_BCN = 0.5 * S_trapezoid.

0.25 (d + b) c = 0.25 (a + c) * (a - b).

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей треугольников ADN и BCN равна половине площади трапеции ABCD.