Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3x и 4x (где x - некоторое число), тогда высота треугольника равна x.

Площадь треугольника равна S = 1/2 a b, где a и b - катеты.

Площадь первого треугольника: S₁ = 1/2 3x x = 3/2x²
Площадь второго треугольника: S₂ = 1/2 4x x = 2x²

По условию задачи, разность площадей треугольников равна 56 дм²:
S₂ - S₁ = 2x² - 3/2x² = 56
4x² - 3x² = 112
x² = 112
x = √112

Площадь исходного треугольника равна:
S = 1/2 3√112 4√112 = 6√112 √112 = 6 112 = 672 дм²

Ответ: площадь данного треугольника равна 672 квадратным дециметрам.