Для нахождения промежутков монотонности и экстремума данной функции сначала найдем производную функции:
$$tex$$y' = 3x^2 + 2x + 10$$/tex$$

Далее приравняем производную к нулю:
$$tex$$3x^2 + 2x + 10 = 0$$/tex$$

Дискриминант этого уравнения равен:
$$tex$$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 4 - 120 = -116$$/tex$$

Дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней, а значит экстремумов нет.

Далее исследуем промежутки монотонности с помощью знаков производной на каждом промежутке:

Берем произвольное число из меньше, чем -2, например -3:
$$tex$$y'$-3$ = 3 \cdot $-3$^2 + 2 \cdot $-3$ + 10 = 27 - 6 + 10 = 31 > 0$$/tex$$ Производная положительна на промежутке $-\infty ,-2$.

Берем произвольное число из промежутка -2 до 1, например 0:
$$tex$$y'$0$ = 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 10 = 10 > 0$$/tex$$ Производная положительна на промежутке $-2,1$.

Берем произвольное число больше 1, например 2:
$$tex$$y'$2$ = 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 10 = 12 > 0$$/tex$$ Производная положительна на промежутке $1,+\infty$.

Итак, функция $$tex$$y=x^3+x^2+10x$$/tex$$ возрастает на промежутках $-\infty ,-2$ и $-2,+\infty$.