Дано: AB:BC = 2:3, BH = 6 см, угол C = 30 градусов

Так как AB:BC = 2:3, то можно представить длины сторон как 2x и 3x, где x - коэффициент пропорциональности.
Таким образом, длины сторон будут следующими:
AB = 2x
BC = 3x

Так как BH - высота, то в треугольнике ABH найдем длину стороны AH по теореме Пифагора:
AH = √(AB^2 - BH^2) = √(4x^2 - 36)

Так как угол C = 30 градусов, то в треугольнике ABH будем иметь tg(C) = BH / AH, откуда:
tg(30) = 6 / AH
1/√3 = 6 / √(4x^2 - 36)
√3 * √(4x^2 - 36) = 6
√(4x^2 - 36) = 6√3
4x^2 - 36 = 108
4x^2 = 144
x^2 = 36
x = 6

Теперь найдем длины сторон:
AB = 2x = 12
BC = 3x = 18
AC = √(12^2 + 6^2) = √(144 + 36) = √180 = 6√5

AB + BC = 12 + 18 = 30

Итак, AB + BC = 30.