Для решения данной задачи, найдем радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную призму.
Радиус сферы, вписанной в призму, равен половине высоты призмы hhh и равен расстоянию от центра призмы до середины одной из сторон призмы.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу сферы, и катетами, равными стороне призмы и половине высоты призмы, имеем: r2=(32)2+(h2)2r^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2r2=(23)2+(2h)2, r=(32)2+(h2)2r = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2}r=(23)2+(2h)2, r=34+h24r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{h^2}{4}}r=43+4h2, r=h2+34r = \sqrt{\frac{h^2 + 3}{4}} r=4h2+3.
Так как радиус сферы равен половине высоты призмы, то r=h2r=\frac{h}{2}r=2h, поэтому: h2=h2+34\frac{h}{2} = \sqrt{\frac{h^2 + 3}{4}}2h=4h2+3, Решив уравнение, найдем значение высоты призмы: h=33h = \frac{\sqrt{3}}{3} h=33.
Таким образом, высота правильной шестиугольной призмы равна h=33h = \frac{\sqrt{3}}{3}h=33.
Для решения данной задачи, найдем радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную призму.
Радиус сферы, вписанной в призму, равен половине высоты призмы hhh и равен расстоянию от центра призмы до середины одной из сторон призмы.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной радиусу сферы, и катетами, равными стороне призмы и половине высоты призмы, имеем:
r2=(32)2+(h2)2r^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2r2=(23 )2+(2h )2,
r=(32)2+(h2)2r = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{h}{2})^2}r=(23 )2+(2h )2 ,
r=34+h24r = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{h^2}{4}}r=43 +4h2 ,
r=h2+34r = \sqrt{\frac{h^2 + 3}{4}} r=4h2+3 .
Так как радиус сферы равен половине высоты призмы, то r=h2r=\frac{h}{2}r=2h , поэтому:
h2=h2+34\frac{h}{2} = \sqrt{\frac{h^2 + 3}{4}}2h =4h2+3 ,
Решив уравнение, найдем значение высоты призмы:
h=33h = \frac{\sqrt{3}}{3} h=33 .
Таким образом, высота правильной шестиугольной призмы равна h=33h = \frac{\sqrt{3}}{3}h=33 .