Обозначим большее основание трапеции через b, а боковую сторону через h.

Так как диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла, то она делит трапецию на два равнобедренных треугольника. Пусть высота треугольника, образованного диагональю, равна h₁, тогда вторая высота равна h - h₁.

Из подобия треугольников можно записать, что отношение высот треугольников равно отношению соответствующих сторон: h₁ / h = a / ((b-a)/2).

Так как диагональ является перпендикулярной к боковой стороне, то у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами h₁ и ((b-a)/2), и гипотенузой h.

Из теоремы Пифагора получаем h² = h₁² + ((b-a)/2)².

Исключим h₁ из двух уравнений и получим:

h² = a h + ((b-a)/2) h
h = 2a + (b-a)/2
h = 2a + b/2 - a/2
h = b/2 + a/2

Теперь можем найти площадь трапеции:

S = (a + b) h / 2
S = (a + b) (b/2 + a/2) / 2
S = (ab + a² + b² + ab) / 4
S = (2ab + a² + b²) / 4
S = (a (2b + a) + b²) / 4

Итак, площадь трапеции равна (a (2b + a) + b²) / 4.