Для решения задачи воспользуемся формулой для объёма пирамиды:

V = (1/3) S_osnov h,

где S_osnov - площадь основания, h - высота пирамиды.

Так как у нас дан угол между апофемой и плоскостью основания, то можем выразить высоту пирамиды через апофему и угол 30º:

tg(30º) = h / apofema,

h = apofema * tg(30º).

Также нам известна сторона основания - 12 см. Площадь основания равна:

S_osnov = (12 * 12).

Подставляем все значения в формулу для объёма и получаем:

V = (1/3) (12 12) (apofema tg(30º)) = (48 * apofema).

Теперь нам нужно выразить апофему через сторону основания:

Сечение, которое проходит через вершину и центр основания четырёхугольной пирамиды и перпендикулярно стороне основания, является прямоугольным треугольником с катетами в 6 см (половина стороны основания) и неизвестной апофемой:

apofema = √(6^2 + h^2).

Подставляем значение h = apofema * tg(30º):

apofema = √(6^2 + (6 * tg(30º))^2) = 6√(4 + 3) = 6√7.

Теперь подставляем значение apofema в формулу для объёма:

V = 48 * 6√7 = 288√7 куб. см.

Таким образом, объём четырёхугольной пирамиды равен 288√7 куб. см.