Для нахождения объема конуса воспользуемся формулой для объема:

V = (1/3) S h,

где V - объем конуса, S - площадь основания, а h - высота конуса.

Площадь основания конуса равна 45π (дано), а боковая поверхность представляет собой сектор с углом 60º. Так как сектор составляет 1/6 от полной окружности, то длина окружности боковой поверхности равна 6 2π r / 6 = 2πr. Здесь r - радиус окружности основания, а h - высота конуса.

Известно, что длина окружности равна 2πr, а угол сектора равен 60º. Тогда длина дуги сектора равна (60 / 360) * 2πr = πr.

Так как круговой сектор можно развернуть в боковую поверхность конуса, то S = πr и h равна r по теореме Пифагора (высота, радиус и образуемое ими отношение - стороны прямоугольного треугольника)

Теперь подставим найденные значения в формулу для объема конуса:

V = (1/3) S h = (1/3) πr 2r = (2π/3) * r^2

Таким образом, объём конуса равен (2π/3) * r^2.