Пусть сторона правильного треугольника равна a. Так как расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны треугольника равно 1, то мы можем построить высоту треугольника, которая также будет равна 1.

Теперь у нас имеется два равнобедренных треугольника: прямоугольный треугольник со сторонами a, a и гипотенузой, равной 2a, и равнобедренный треугольник со сторонами a, a и основанием, равным 2a.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = (a a) / 2 = a^2 / 2
Площадь равнобедренного треугольника равна S = (a 1) / 2 = a / 2

Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и средней линией, то S = 2S1, т.е. a / 2 = 2(a^2 / 2), откуда a = 4

Таким образом, сторона правильного треугольника равна 4, и его площадь равна S = (4 4 √3) / 2 = 8√3.