Чтобы найти отношения AO:OE и BO:OD, обратим внимание на то, что точки D и E делят отрезки AD и BE соответственно в заданных отношениях. Таким образом, мы можем представить точку D как D = A + (3/7) (C - A) и точку E как E = B + (1/3) (C - B).

а) Найдем точку О, пересечение отрезков AE и BD. Подставив D и E в уравнения прямых AE и BD, найдем координаты точки О:

О = A + λ1(E - A) = B + λ2(D - B),

где λ1 и λ2 - произвольные параметры. После подстановки координат точек А, B, D и E, получим:

О = (4/7)A + (3/7)C = (1/3)B + (2/3)D.

Теперь найдем координаты точки О:

О = (4/7)(1,0) + (3/7)(4,0) = (4/7, 0),
О = (1/3)(0,0) + (2/3)(4/7, 0) = (8/21, 0).

Следовательно, отношения AO:OE и BO:OD равны:

AO:OE = AD:DE = 4:3,
BO:OD = BE:ED = 2:1.

б) Найдем отношение AK:AB. Точки А, D, К лежат на одной прямой, так как они попарно пересекаются, следовательно по теореме Талеса:

AD:DC = AK:KB.

Подставим известные значения и найдем отношение AK:AB:

4:3 = AK:(AK + KB),
4:3 = AK:AB,
AK:AB = 4:7.

Ответ: а) AO:OE = 4:3, BO:OD = 2:1; б) AK:AB = 4:7.