В треугольнике ABC известно, что cos∠B=5/13, cos∠C=4/5. На медианах BM и CN как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Хорда PQ пересекает сторону BC в точке D. Найдите отношение CD:DB.
В треугольнике ABC известно, что cos∠B=5/13, cos∠C=4/5. На медианах BM и CN как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Хорда PQ пересекает сторону BC в точке D. Найдите отношение CD:DB.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Известно, что медиана в треугольнике делит сторону пополам. Таким образом, BD = DC.
Теперь заметим, что угол BMC равен 180 - угол B, а угол CNC равен 180 - угол C.
Так как BM и CN являются медианами, то медиана в треугольнике делит угол пополам. Таким образом,
угол MBP = угол MBA = угол B/2 и угол CNP = угол CNA = угол C/2.
Теперь мы можем найти косинусы угла MBP и угла CNP:
cos(угла MBP) = cos(B/2) = sqrt((1+cos(B))/2) = sqrt((1 + 5/13)/2) = sqrt(9/13)
cos(угла CNP) = cos(C/2) = sqrt((1+cos(C))/2) = sqrt((1 + 4/5)/2) = sqrt(9/10)
Теперь рассмотрим треугольники BMP и CNP. MB = MC (по построению), углы MBP и CNP равны по построению, а также синусы этих углов равны. Таким образом, треугольники равны и MP = NP.
Поскольку угол MPQ - прямой, то MQ является диаметром окружности. Поэтому угол MDC равен углу MPC, а угол NDB равен углу NQC.
Таким образом, треугольники MDC и NBC подобны (по двум углам). Теперь мы знаем, что BD = DC, CN = 2NC, NB = 2BM.
Теперь рассмотрим треугольники NCD и MBD. Они также подобны, так как у нас те же пропорции сторон. Из этой подобности можем найти, что CD/BD = ND/MD = NC/MB = 2/1.
Итак, CD:DB = 2:1.