Для того чтобы найти уравнение гиперболы, мы можем воспользоваться информацией о том, что прямая с уравнением 3x-4y-12=0 является касательной к данной гиперболе.

Сначала найдем координаты точки касания этой прямой с гиперболой. Точка касания должна одновременно принадлежать как прямой, так и гиперболе.

Подставим координаты точки касания в уравнение прямой: 3x - 4y - 12 = 0. Заменим x и y на координаты точки касания:
3x_1 - 4y_1 - 12 = 0

Координаты точки касания расположены на касательной прямой, следовательно выполняется уравнение гиперболы, удовлетворяющее теореме о построении касательной к гиперболе. Таким образом, уравнение данной гиперболы будет иметь вид: xy + 3 = 0.