Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r.

Так как центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то точка пересечения биссектрис треугольника ABC является центром описанной окружности.

Так как точка D - середина стороны ВС, то BD = DC = 1/2·BC.

По условию известно, что периметр треугольника ABC равен 18 см:
AB + BC + AC = 18.

Так как четырехугольник ABCD - параделлелограмм, то BD = AC.

Следовательно, 2·BD + BC = 18.
Так как BD = 1/2·BC, получаем: 2·(1/2·BC) + BC = 18
BC + BC = 18
2·BC = 18
BC = 9.

Так как BD = 1/2·BC, получаем: BD = 4.5 см, DC = 4.5 см, AC = 9 см.

Так как центр описанной окружности треугольника ABC совпадает с центром вписанной окружности, то радиус описанной около треугольника ADS равен половине радиуса вписанной окружности треугольника ABC: r' = r/2 = r/(2·π·(BC + BD + AD)/2) = r/(2·π·(9 + 4.5 + AC)/2) = r/(2·π·(9 + 4.5 + 9)/2) = r/(2·π·22.5/2) = r/π·11.25 = r/11.25.

Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника АДС, равен r/11.25.