Поскольку AK : KB = 9 : 1, то точка D делит отрезок AB в отношении 9 : 1. Таким образом, AD = 9x, где x - общий множитель.

Также, по условию задачи AP : PB = 2 : 3, что означает, что точка M делит отрезок AB в отношении 2 : 3. Таким образом, BM = 2y, где y - общий множитель.

Теперь, рассмотрим треугольник AKD. Используя теорему синусов для этого треугольника, получаем:
AD/sin(AKD) = AK/sin(DAK)

Подставляем известные значения:
9x/sin(AKD) = 9/sin(DAK)

Сокращаем на 9:
x/sin(AKD) = 1/sin(DAK)

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Используя теорему синусов для этого треугольника, получаем:
BM/sin(ABM) = AM/sin(BAM)

Подставляем известные значения:
2y/sin(ABM) = 3/sin(BAM)

Сокращаем на 3:
y/sin(ABM) = 1/sin(BAM)

Из полученных уравнений:
x/sin(AKD) = y/sin(ABM)

Отсюда можем заключить, что:
AD/BM = sin(AKD)/sin(ABM)

Теперь найдем эти синусы. Так как AD - биссектриса угла ABC, то угол AKD = угол ABM. Таким образом, sin(AKD) = sin(ABM).

Имеем:
AD/BM = sin(AKD)/sin(ABM) = 1/1 = 1

Ответ: AD : BM = 1 : 1.