Пусть боковая сторона треугольника равна a.

Так как угол при вершине равен 2альфа, то у нас есть следующее соотношение:

2альфа = 180° - 2альфа - 2альфа

То есть углы при основании треугольника равны 90° - альфа.

Так как треугольник равнобедренный, то в нем углы при основании равны, следовательно:

90° - альфа = альфа

Отсюда получаем, что альфа = 45°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной треугольника, радиусом окружности и радиусом-высотой вписанного в треугольник окружности.

Угол прямоугольного треугольника при основании равен 45°, а катетами являются r и a/2. По теореме синусов имеем:

r/sin(45°) = a/2/sin(90°)

r = a/2

Из двух полученных уравнений имеем систему:

a/2 = r

a = 2r

Ответ: боковая сторона треугольника равна 2r.