Две окружности пересекаются в точках А и В, прямая CD – общая касательная этих окружностей (C и D – точки касания). Прямые АВ и CD пересекаются в точке N. Докажите, что N – середина CD
Две окружности пересекаются в точках А и В, прямая CD – общая касательная этих окружностей (C и D – точки касания). Прямые АВ и CD пересекаются в точке N. Докажите, что N – середина CD
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что по теореме о касательных углах угол АCD равен углу BAC, так как они опираются на одну и ту же дугу. Также угол BCA равен углу BDA по той же теореме.
Теперь рассмотрим треугольники АBC и ABD. Угол BAC равен углу ABD, угол ABC равен углу ACD, а угол BCA равен углу BDA. Таким образом, треугольники АBC и ABD подобны, и мы можем записать:
AB/BD = AC/CD.
Также, так как точка N лежит на прямой AB, то можно применить теорему Фалеса и записать:
AN/NB = AC/CD.
Из этих двух уравнений следует, что AN/NB = AB/BD. Это означает, что точка N делит отрезок BD пополам, то есть N - середина отрезка CD.