а) Длина биссектрисы AK равна 10.

Так как отрезок BK равен 4, а отрезок KC равен 8, то точка K делит сторону AC в отношении 1:2. То есть, AK = 2KC = 16, по теореме Пифагора в треугольнике ABK: AK^2 = AB^2 + BK^2, находим AB = 18. Затем, по теореме Пифагора в треугольнике ABC: AB^2 + BC^2 = AC^2, находим BC = 10. Теперь можем найти AK: AK^2 = AB^2 + BC^2 = 18^2 + 10^2 = 324 + 100 = 424, AK = √424 = 20.

б) Радиус описанной около треугольника AKC окружности равен 5
Прямоугольный треугольник AKC является половиной треугольника ABC, возьмем половину радиуса описанной окружности треугольника ABC:
R = AC / 2 = 10/2 = 5

в) Квадрат расстояния между центрами вписанной в треугольник ABC и описанной около треугольника ABC окружностями равен 75

Пусть O1 и O2 - центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC соответственно. Тогда, поскольку треугольник ABC - прямоугольный, центр вписанной окружности - середина гипотенузы, О1С = АO1 = 5.
Также радиус вписанной окружности равен площади треугольника ABC, поделенной на полупериметр треугольника ABC, r = S/p = 40/27
Используя теорему Пифагора, находим
О1О2^2 = (О1К + КО2)^2 = ((AO1 - АК) + (КС - CO2))^2 = ((5 - 4) + (8 - 5))^2 = (1 + 3)^2 = 16.
Таким образом, О1О2=4, и О1О2^2 = 4^2 = 16.