В остроугольном треугольнике MNP проведена высота PE и медиана MF, причем точки M,P,E и F лежат на одной окружности. a) Докажите, что треугольник MNP равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если MF:PE=5:4 и FE=4.
В остроугольном треугольнике MNP проведена высота PE и медиана MF, причем точки M,P,E и F лежат на одной окружности. a) Докажите, что треугольник MNP равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если MF:PE=5:4 и FE=4.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
а) Из условия мы знаем, что точки M, P, E и F лежат на одной окружности. Значит, угол MPE равен углу MFE (описанный угол равен углу, опирающемуся на эту дугу). Также, угол MPF равен углу MEP (аналогично). Значит, треугольники MPE и MFE равны по двум углам и стороне. Следовательно, PE=FE и треугольник MNP равнобедренный.
б) Пусть MF=x, тогда PE=4x/5. Так как треугольник MPE равнобедренный, то угол MEP равен 90 градусов. По условию, FE=4, следовательно, ME=√(4x^2/25 + 16). По теореме Пифагора в треугольнике MEF получаем x^2+(4x^2)/25=20. Решив это уравнение, найдем x=√(500/21). Теперь можем найти ME. ME=√(16+(500/21))=√(896/21)=√(6414/21)=8/3√14. Площадь треугольника MNP равна S=MEMP/2=8/3√148/3=64/3√14.