Для доказательства признака равенства треугольников по двум сторонам и медиане проведем следующие шаги:

Пусть даны два треугольника ABC и A'B'C' с соответствующими сторонами AB = A'B', AC = A'C' и медианами AM и A'M', проведенными к третьей стороне BC и B'C' соответственно.

Докажем, что угол AMB равен углу A'M'B'. Рассмотрим треугольники ABC и A'B'C'. Так как стороны AB = A'B' и AC = A'C', то эти треугольники подобны. Следовательно, углы ACB и A'C'B' равны. Но угол AMB является вертикальным углом к углу ACB, а угол A'M'B' является вертикальным углом к углу A'C'B'. Значит, углы AMB и A'M'B' равны.

Докажем, что сторона AM равна стороне A'M'. Рассмотрим треугольники ABM и A'B'M'. Из подобия треугольников ABC и A'B'C' следует, что сторона AM пропорциональна стороне A'M'. Но так как эти стороны лежат против равных углов (по предыдущему пункту), то они равны.

Итак, мы показали, что угол AMB равен углу A'M'B' и сторона AM равна стороне A'M'. Следовательно, треугольники ABC и A'B'C' равны по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.