Проведем отрезки AD, BC.

Итак, пусть PA = a, AQ = k * a, QB = b, BR = k * b, RC = c, CS = k * c, SD = d,DP = k * d.

Имеем, что

AB = AQ + QB = k * a + b (1)

BC = BR + RC = k * b + c (2)

CD = CS + SD = k * c + d (3)

DA = DP + PA = k * d + a (4).

Также мы имеем, что PA:AQ = QB:BR = RC:CS = SD:DP.

Так как PA:AQ = QB:BR, то PA/PA = A(k*a)/(A*k*a) = AQ/QB = AQ/B(k*b). Отсюда получаем, что a/(k*a) = 1/b, то есть 1 = 1/k, то есть k = 1.

Теперь заметим, что:

AB = AQ + QB = a + b

CD = CS + SD = c + d

AD = AQ + QB + DP + PA = a + b + d + a = 2a + b + d

BC = BR + RC = b + c

Теперь видно, что AD = BC = AB = CD, так что ABCD — квадрат.