Для решения этой задачи воспользуемся свойством центрального угла: угол, стягиваемый соответствующей хордой, равен углу, стягиваемому этой хордой на окружности.

Из свойств геометрических фигур известно, что перпендикуляр к хорде, проведенный через центр окружности, делит его на две равные части. Поэтому (\angle OAC = \angle OBC = 45^\circ).

Теперь рассмотрим треугольник OAC. Мы знаем угол OAC ((45^\circ)), угол C около треугольника равен (90^\circ), следовательно, третий угол ACO равен (45^\circ). Таким образом, треугольник OAC является прямоугольным треугольником.

Так как OC - высота, проведенная к гипотенузе треугольника OAC, то по теореме Пифагора (OA^2 = OC^2 + CA^2). Так как OA равно радиусу окружности, равному половине хорды ((15 \, см)), то (OA = 15 \, см).

Теперь найдем CA, для этого воспользуемся тригонометрическими функциями прямоугольного треугольника OAC: (\sin 45^\circ = \frac{CA}{OA}). Так как (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), то получаем, что (CA = 15 \, см \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \, см).

И, наконец, перпендикуляр OC равен CA построенному вместе с ним прямоугольному треугольнику, то есть длина перпендикуляра равна (\frac{15\sqrt{2}}{2} \, см).