Пусть длина отрезка (\overline{BO}) равна (x).

Так как точка (O) делит отрезок (\overline{BE}) в отношении 2:1, то длина отрезка (\overline{OE}) равна (\frac{1}{3}x), а длина отрезка (\overline{BE}) равна (\frac{2}{3}x).

Так как (\overline{OE}) - это радиус вписанной в треугольник окружности, а (\overline{OE} = \frac{1}{3}x), то

[ r = \frac{1}{3}x ]

где (r) - радиус вписанной в треугольник окружности.

Также из свойств биссектрисы треугольника следует, что

[ \frac{AB}{BC} = \frac{AO}{OC} ]

Так как (AO = BO = r), а (OC = OB - CB = x - 8), то

[ \frac{AB}{BC} = \frac{r}{x-8} = \frac{r}{\frac{2}{3}x-8} = \frac{\frac{1}{3}x}{\frac{2}{3}x-8} = \frac{x}{2x-24} ]

Но так как (\frac{AB}{BC} = \frac{AB}{7} = \frac{7}{8}), то получаем уравнение:

[ \frac{7}{8} = \frac{x}{2x-24} ]

[ 7(2x-24) = 8x ]

[ 14x - 168 = 8x ]

[ 6x = 168 ]

[ x = 28 ]

Таким образом, длина отрезка (\overline{BO}), т.е. (x), равна 28. Из ранее сделанных вычислений можем получить, что длина (\overline{AB} = r = \frac{1}{3}x = \frac{1}{3} \cdot 28 = 9).

Итак, длина отрезка (\overline{AB}) равна 9.