Известно, что площадь поверхности фигуры вращения равна удвоенному произведению длины дуги и окружности, по которой происходит вращение.

Площадь окружности, по которой происходит вращение, равна
S_circle = π * r^2,
где r - радиус окружности.

Рассмотрим первоначальный прямоугольник. Построим диагонали и проведем прямую, проходящую через вершину прямоугольника и перпендикулярную диагонали. Получится равнобедренный треугольник с углом a между диагоналями.

По условию, площадь прямоугольника равна S.

Рассмотрим равнобедренный треугольник. Известно, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому в равнобедренном треугольнике угол a будет равен углу между диагональю и противоположным ей основанием треугольника.
Таким образом, угол между диагональю и противоположным ей основанием треугольника также равен a.

Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали и четвертью окружности (дугой), по которой происходит вращение прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, противоположным ей основанием и медианой противоположного угла.

Проекция этого треугольника на диагональ равна половине длины диагонали, то есть r/2.

Из этого следует, что r = 2 * S/(aπ),

Теперь можем найти площадь поверхности фигуры вращения:
S_surface = 2 π r^2 = 2 π (2 * S/(aπ))^2 = 8S^2/(a^2π).

Ответ: S_surface = 8S^2/(a^2π).