У нас есть следующая информация:

ab = bd
bc = 31
∠c = 45°

Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Также, в параллелограмме смежные углы дополнительны.

Из этого следует, что ∠d = 180° - 45° = 135°.

Поскольку ab = bd, это значит, что в параллелограмме abcd у нас равны две стороны и угол между ними, значит это равнобедренная трапеция.

Теперь мы можем использовать формулу площади трапеции:
S = (a + b) * h / 2

Где a и b - параллельные стороны, h - расстояние между ними.

Мы знаем, что ab = bd, так что a = bd и b = bc. Тогда:

S = (bd + bc) * h / 2

Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти высоту h:
h = bc * sin(∠c)

Теперь можем вычислить площадь:

h = 31 sin(45°) ≈ 21.92
S = (31 + bd) 21.92 / 2

Теперь нам нужно найти bd, для этого используем тот факт, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон:

ab^2 + bc^2 = 2*bd^2

bd = sqrt((ab^2 + bc^2) / 2)
bd = sqrt((31^2 + 31^2) / 2) ≈ 43.94

Теперь можем найти площадь:

S = (31 + 43.94) * 21.92 / 2 ≈ 945.15

Итак, площадь параллелограмма abcd равна приблизительно 945.15.