Для нахождения площади поверхности тела, полученного при вращении треугольника вокруг гипотенузы, воспользуемся формулой для площади поверхности вращения:

S = 2πrL,

где S - площадь поверхности тела, r - радиус окружности, L - длина окружности.

Для начала найдем радиус вращения r. Он равен половине гипотенузы треугольника:

r = 25 / 2 = 12.5 см.

Теперь найдем длину окружности L. Она равна периметру основания треугольника, так как треугольник вращается вокруг гипотенузы:

L = a + b + c,

где a, b, c - катеты треугольника. Мы знаем, что проведенная к гипотенузе высота равна 12 см, а катеты треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора:

a^2 + b^2 = 25^2 - 12^2 = 169,

a^2 + b^2 = 169.

Так как треугольник прямоугольный, то катеты равны 5 и 12 см. Следовательно,

L = 5 + 12 + 25 = 42 см.

Теперь можем найти площадь поверхности тела:

S = 2π 12.5 42 = 1050π см^2 ≈ 3304.1 см^2.

Ответ: площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника, равна 1050π см^2 или примерно 3304.1 см^2.