Для решения этой задачи нам нужно найти длины сторон треугольников, образованных диагоналями четырехугольника ABCD.

Рассмотрим треугольник AOC. По теореме косинусов, длина стороны AC выражается следующим образом:

AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2OAOC*cos(∠AOC)

Подставляем известные значения:

AC^2 = 15^2 + 5^2 - 2155cos(∠AOC)
AC^2 = 225 + 25 - 150cos(∠AOC)
AC^2 = 250 - 150*cos(∠AOC)

Аналогично рассматриваем треугольник BOD:

BD^2 = OB^2 + OD^2 - 2OBODcos(∠BOD)
BD^2 = 6^2 + 18^2 - 2618cos(∠BOD)
BD^2 = 36 + 324 - 216cos(∠BOD)
BD^2 = 360 - 216cos(∠BOD)

Отношение периметров треугольников AOC и BOD равно:

(AC + AO + OC) / (BD + BO + OD)

(√(250 - 150cos(∠AOC)) + 15 + 5) / (√(360 - 216cos(∠BOD)) + 6 + 18)

Это выражение можно упростить дальше, если известен угол между диагоналями четырехугольника ABCD.