Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и теоремой о сумме квадратов диагоналей в трапеции.

По теореме Пифагора для треугольника AOD получаем:
AO^2 + OD^2 = AD^2
AO^2 + OD^2 = 18^2
AO^2 + OD^2 = 324

Также по теореме о сумме квадратов диагоналей в трапеции получаем:
OD^2 - AO^2 = OB^2 - OA^2
OD^2 - AO^2 = BC^2 - AC^2
OD^2 - AO^2 = 12^2 - 8^2
OD^2 - AO^2 = 144 - 64
OD^2 - AO^2 = 80

Теперь объединим два уравнения:
AO^2 + OD^2 = 324
OD^2 - AO^2 = 80

Составим систему уравнений:
{
AO^2 + OD^2 = 324
OD^2 - AO^2 = 80
}

Сложим оба уравнения и получим:
2OD^2 = 404
OD^2 = 202

Теперь подставим значение OD^2 в первое уравнение:
AO^2 + 202 = 324
AO^2 = 122
AO = √122

Следовательно, длина отрезка AO равна √122.