Пусть BP = x, тогда PH = 96 - x.

Так как BP является биссектрисой угла A, то по свойствам биссектрисы мы можем написать:

x / sin(B) = BH / sin(ABH) = BC / sin(ABC)

Подставляем известные значения:

x / sin(B) = 96 / sin(ABC)

Также, так как точка P лежит на высоте, то имеем:

x / sin(B) = PH / sin(ABH)

x / sin(B) = (96 - x) / sin(ABH)

Так как ABH является прямым углом, то sin(ABH) = 1 и ABH = 90 градусов.

Имеем уравнение:

x / sin(B) = (96 - x) / 1

x 1 = sin(B) (96 - x)

x = 96 * sin(B) / (1 + sin(B))

Так как радиус описанной окружности равен 50, то с учетом формулы для радиуса вписанной окружности в треугольнике, имеем:

r = (a + b - c) / 2 = (BC + AB - AC) / 2

50 = (96 + AB - AC) / 2

AB - AC = 92

По теореме синусов:

AB / sin(C) = BC / sin(A)

AB / sin((180 - B - C) = 96 / sin(B)

AB / sin(B)cos(C) - AB / sin(C)cos(B) = 96 / sin(B)

AB / sin(B)cos(90 - B) - AB / sin(90 - B)cos(B) = 96 / sin(B)

AB / cos(B) - AB / 50 = 96 / sin(B)

(AB - AC) / cos(B) = 96 / sin(B)

92 / cos(B) = 96 / sin(B)

Таким образом:

92 / cos(B) = 96 / sin(B)

sin(B) / cos(B) = 92 / 96

tg(B) = 23 / 24

sin(B) = 23 / 25

Теперь можем найти x:

x = 96 * 23 / 25

x = 8832 / 25

x = 353.28

Тогда PH = 96 - 353.28 = -257.28

Итак, BP:PH = 353.28 : -257.28 = -35328 : 25728 = -9 : 7.

Ответ: BP:PH = -9:7.