Пусть x - большая из оставшихся сторон. Тогда:

10 + 12 + x + y = 34,
x + y = 12.

Так как в 4-угольник можно вписать окружность, то сумма всех его сторон должна быть равна периметру вписанного в него круга. Периметр вписанного круга равен 2πr, где r - радиус вписанного круга.

Так как одна из сторон равна 10 и другая 12, то сумма этих сторон равна 22. Тогда большая из оставшихся сторон равна x, и известно, что x + y = 12. Значит, x = 12 - y.

Так как сумма всех сторон равна периметру вписанного круга, то x + 10 + 12 = 2πr, где r - радиус вписанного круга. Подставляем выражение для x:

12 - y + 10 + 12 = 2πr,
34 - y = 2πr,
y = 34 - 2πr.

Из условия окружности следует, что y - радиус окружности. Так как радиус не может быть отрицательным, то y > 0. Таким образом, 34 - 2πr > 0, и r < 34 / 2π = 5.40.

Теперь подставляем r < 5.40 в равенство y = 34 - 2πr и находим наибольшее возможное значение для у:

y = 34 - 2π * 5.40 ≈ 34 - 33.93 ≈ 0.07.

Таким образом, наибольшее значение оставшейся стороны равно 0.07.