Для построения окружности, касающейся сторон угла и проходящей через точку М, выполним следующие действия:

Проведем прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную биссектрисе угла. Обозначим точку пересечения этой прямой с биссектрисой точкой О.

Соединим точку О с вершиной угла.

Найдем точку пересечения прямой, проходящей через точку О и перпендикулярную стороне угла, с биссектрисой угла. Обозначим эту точку точкой P.

Проведем линию, касательную к точке М и пересекающую прямую, проходящую через точку О и P, в точке Q.

Тогда окружность, проходящая через точку М и касающаяся сторон угла, будет проходить через точки Q, О и М.

Построим окружность с центром в точке О и проходящую через точки Q и М.

Таким образом, окружность построена.