Для начала обозначим ромб ABCD. Пусть точка пересечения диагоналей ромба равна O.

Так как ABCD - ромб, то его диагонали будут пересекаться в точке O и делиться пополам. То есть OA = OC и OB = OD.

Теперь проведем перпендикуляры из точки O к сторонам ромба: перпендикуляры OE и OF к сторонам AB и CD, и перпендикуляры OG и OH к сторонам BC и AD.

Так как OA = OC и OB = OD, то треугольники OAB и OCD равны по гипотенузе и катету: OA = OC = OB = OD и AB = CD.

Теперь рассмотрим треугольник OEB и треугольник OFD. У данных треугольников есть общий катет OE = OF (так как они проведены из одной точки O перпендикулярно к сторонам AB и CD) и гипотенузы равны: OB = OD (так как BD - диагональ ромба и точка O - ее середина). Следовательно, по гипотенузе и катету данные треугольники равны.

Аналогичным образом доказывается равенство треугольников OGC и OHA.

Таким образом, перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей ромба к его сторонам, равны.