Обозначим высоту пирамиды через h. Так как через вершину верхнего основания проведена плоскость, перпендикулярная диагонали, то получившееся сечение будет параллелограммом.

Из свойств параллелограмма известно, что площадь параллелограмма равна произведению длин диагоналей, деленному на 2. Таким образом, площадь сечения равна половине произведения длин сторон сечения, то есть:

(6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot (6 + 10) \cdot h).

Отсюда находим, что высота h равна 2.

Теперь можем вычислить объем пирамиды по формуле:

(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (6 + 10) \cdot 2 \cdot 2 = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 = \frac{32}{3}.)

Итак, объем пирамиды равен ( \frac{32}{3}) кубических сантиметра.