По свойству касательной и хорды, длина отрезка касательной, проведенной из точки касания к окружности до точки пересечения с хордой, равна длине хорды.

Определим длину отрезка КМ как длину хорды, проведенной из точки касания К. Для этого используем формулу длины хорды в круге:

КМ = √(r₁ * r₂), где r₁ и r₂ - радиусы окружностей, касающихся хорды.

Так как точка К - это точка касания окружности вписанной в треугольник АВС, и еще двух вписанных окружностей, то радиус вписанной окружности равен 9. Таким образом, r₁ = 9.

С другой стороны, для радиусов окружностей, касающихся стороны ВС, рассмотрим треугольник АЦС.

Точка, где касается одна из окружностей этой пары, точка L, создает равносторонний треугольник вместе с точками А и С, поэтому радиус этой окружности, касающейся стороны ВС равен 6.

Таким образом, r₂ = 6.

Подставляем значения в формулу и рассчитываем:

КМ = √(9 * 6) = √(54) = 3√6.

Итак, длина отрезка ВК равна 3√6.